■□■━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━□■□ 　 秒殺！　公務員試験「一般知能」超高速解法　　 第 １３ 号　　≪正 多 面 体≫ □■□━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━■□■ 　 ●正多面体（せいためんたい）とはどんな立体のことでしょうか？ 　と聞かれてパッと正確にその「定義」を言える人は相当できる人です。 　上の質問にきちんと答えられなくても、「全部で何種類？」と問われ 　れば即座に「５種類」とわかる方は多いかもしれません。 　では、正多面体５種類をすべて「思い浮かべて」下さい。 　　・「正三角形」を「４枚」使って「正４面体」 　　・「正方形」を「６枚」使って「正６面体」 　　・「正三角形」を「８枚」使って「正８面体」 　　・「正五角形」を「１２枚」使って「正１２面体」 　　・「正三角形」を「２０枚」使って「正２０面体」 　どうでしょう？ きちんと「イメージ」できるでしょうか？ 「イメージ」のポイントは各正多面体の 　　　　　　　　　　★『一つの頂点！』です。 　　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞　　 　　★この『一つの頂点』に「面と辺」がいくつ集まっているか？ 　　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞　　　 　をしっかりつかんでいるかどうかが「勝負の分かれ目」です。 　　 　例えば「正２０面体」を「イメージ」してみろ、と言われて、正三 　角形２０枚で作られた立体を「漠然と」思い浮かべるのではなく、 　「一つの頂点」にいくつ「面と辺」が集まっているか！をしっかり 　「意識」できているかどうか、が「ポイント」ということです。 　あなたがこのポイントを「しっかり意識できているかどうか」は今 　すぐここで白紙に５種類の正多角形の「見取り図」を実際に書いて 　みればすぐわかります。 　　 　「うん、そうか、じゃあ、あとで、書いて、みよう」ではなくて、 　今すぐ！書いてみてください。 ●ではまず「正４面体」からいきましょう。 　正三角形４枚でできた「正三角すい」です。「見取り図」なので裏 　側の辺は点線で書くという「約束」にも注意して下さい。 　どうでしょうか。底面が正三角形、そして３枚の側面も同じ正三角 　形の「正三角すい」が書けたでしょうか。 　さあ、そして、今あなたが書いた「正４面体」の「一つの頂点には 　「面と辺」がいくつ仲良く「集まって」いますか？ 　　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　　★「正４面体」の一つの頂点には「面と辺」は「３つ」集まる。 　　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ このことをしっかり頭に入れておいて下さい。 ●次は「正６面体」です。 　これは「立方体」という名称でおなじみなので割と楽に書けると思い 　ます。正方形６枚でできたサイコロです。 　そして、 　　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　　★「正６面体」の一つの頂点には「面と辺」は「３つ」集まる 　　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　ということもあっさりイメージできますね。 ●では、上の「正６面体（立方体）」と大変深ぁい関係を持っている正 　多面体を書きましょう。頻出！「正８面体」です。 　これは、けっこう難しいですがなんとか頑張って書いてみて下さい。 　正三角形を８枚使いますが、イメージとしては４枚ずつに分けて、そ 　の正三角形４枚で「トンガリ帽子」をつくり、できた「トンガリ帽子」 　のテッペンをそれぞれの手でつまんで頭にかぶる側どうしをペトッと 　くっつけるっ、という感じでしょうか。 　「４枚」で「トンガリ帽子」が一つできて、「トンガリ」が「頂点」 　なので 　　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　　★「正８面体」の一つの頂点には「面と辺」は「４つ」集まる 　　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　ことになります。 　こういった自分流の「正８面体」のイメージでそれぞれに実際に書け 　ればとりあえずＯＫなのですが、実はこの「正８面体」についてはそ 　の「自己流イメージ」以外に必ず！持っておかなければいけない「立 　体イメージ」があるのです。それは、 　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　★「正８面体」は「正６面体(立方体)」という箱の内部にドンぴ 　　しゃりっ！ときちんと「お行儀よぉく」納まっている 　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　 　というイメージです。 　そう、「正８面体」って、うるわしい「箱入り娘」なのだ！　 　では、「正８面体」をこの「お行儀よぉく」育てる教育方針で立方体 　の箱の中に書いてみましょう。 　≪正８面体の書き方≫ 　１．まず、やや大きめになるべく正確に「正６面体(立方体)」を書く。 　２．その「正６面体」の６枚の面（正方形）のど真ん中に点を打つ。 　３．ここで「正６面体」の各面に「なまえ」をつけます。 　　ペアでくくって書くと　 　　　　　　（正面、　裏面）（右面、　左面）（上面、　下面） 　　となります。 　４．この６面の「ど真ん中」に打った点どうしを結びます。 　　（１）上面の点と正面、裏面、右面、左面の各点を結びます。 　　（２）下面の点と正面、裏面、右面、左面の各点を結びます。 　５．このとき、表（おもて）から見えない辺を「点線」でうまく書い 　　　て下さい。 　この書き方は最初の「正６面体(立方体)」のゆがみ方によってはなか 　なか思うように書けない場合もありますので微妙に調整しながら「お 　行儀のよい箱入り娘」ならぬ「立方体の箱の中のかわいい正８面体」 　をぜひ完成させてね。 　 　この出来上がった「見取り図」で 　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　★「正８面体」は「正６面体(立方体)」の内部にドンぴしゃり！ きちんとお行儀よぉく納まっている。 　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　そして、 　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　★「正８面体」の一つの頂点には「面と辺」は「４つ」集まる 　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　ということをしっかり確認して下さい。 ●では次は「正６面体(立方体)」をもう一回書きます。 　え、「さっきやったじゃないか」って。でも今度は「箱入り正８面体」 　との「深ぁい関係」に気をつけて書くのです（ここがポイント） ≪正６面体(立方体)の書き方≫ 　１．まず「正８面体」をやや大きめになるべく正確に書く。 　２．８枚の正三角形の各面の「ど真ん中」に点を打つ。 　３．一つの「トンガリ帽子」の４つの正三角形に打った４つの点を正方 　　　形になるように結ぶ。 　４．もう一つの「トンガリ帽子」についても同様に点を結んで正方形を 　　　を作る。 　５．３、４で作った、空間上で平行になっている２つの「正方形」の頂 　　　点どうしを全体が立方体になるように結ぶ。 　うまく書けましたか？ 　今度は「正８面体」の中に「正６面体(立方体)」が「お行儀よく」きち 　んと納まった状態で出現したと思います。 　これが「正６面体」と「正８面体」の「深ぁい関係」です。 　つまり、正６の中に正８が、正８の中に正６が、・・・ 　というように正６と正８が入れ子状態で交互に双方の内部に出現する関 　係があるのです。このことをちょっとカッコつけて 　　　　　　　　　　　『 双 対 性 』 　とか呼んだりします。 　「各面」のど真ん中に打った点が双対性をもつ相手の「頂点」になる、 　ということはすなわち、 　　　　　　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　　　　　　「面の数」と「頂点の数」が入れ替わる！ 　　　　　　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　という関係なのです。 　この「双対性」は「正６面体」と「正８面体」のペアだけでなく、「正 　１２面体」と「正２０面体」の間にもあります。 　　　 　　　　　　　　　　　≪ 双 対 性 の ペ ア ≫ 　　　　　　　　　　「正６面体」⇔「正８面体」 　　　　　　　　　「正１２面体」⇔「正２０面体」 　この２組のペアどうしはその「面の数」と「頂点の数」が入れ替わって 　いて、お互いの内部に入れ子状態で相手が出現するのです。 ●では、ここで新しく登場した「正１２」と「正２０」の見取り図もちゃ 　んと描きたい、ところですがこの２つは描き方の説明が大変しづらく、 　また、実際に描くのも難しいのでお手持ちの参考書などの図を見ておい 　て下さい。そして、 　・「正１２面体」は「正５角形」が１２枚 　・「正２０面体」は「正３角形」が２０枚 　で構成される、ということをしっかり確認した上で「見取り図」上で 　「一つの頂点に集まる面と辺の数」を強く「意識」して正確な全体像を 　掴んでおいて下さい。 　その際の「ポイント！」は 　☆「正１２面体」は「一つの頂点」に３つ！の「面と辺」が集まり、 　 　☆「正２０面体」は「一つの頂点」に５つ！の「面と辺」が集まって 　いるところです。 　この「３つ！」と「５つ！」をしっかり押さえるのです。 　「正１２」と「正２０」は日常生活でこれに類する形を目にすること 　がまずないのでイメージしにくいかもしれませんが必須知識なのでき 　ちんと把握しておきましょう。 　ではここで、以上の５種類の正多角形について「まとめ」ます。 　各正多面体の、頂点、面、辺、の数はもちろんのこと 　　 　　　★「１つの頂点に集まる面（辺）の数」　を要チェック！！ 　です。 　　　　　　　　　　≪ ５種類 の 正 多 面 体 ≫　 　　　　　　　頂点　　面　　　辺　１つの頂点に集まる面（辺）の数 　正４面体　　４　　　４　　　６　　　　　　　３　　　　 　正６面体　　８　　　６　　　１２　　　　　　３ 　正８面体　　６　　　８　　　１２　　　　　　４ 　正１２面体　２０　　１２　　３０　　　　　☆３ 　正２０面体　１２　　２０　　３０　　　　　☆５ 　（特に☆☆に注意！）　 　上記の数字をご自分でノートに描いた図や市販のテキストの「見取り 　図」を確認しながらしっかり覚えてください。 　☆覚える際は「双対性」に注意して次のように切り分けます。 　 　　　　　　　頂点　　面　　　辺　１つの頂点に集まる面（辺）の数 　正４面体　　４　　　４　　　６　　　　　　　３　　　　 　正６面体　　８　　　６　　　１２　　　　　　３ 　正８面体　　６　　　８　　　１２　　　　　　４ 　正１２面体　２０　　１２　　３０　　　　　　３ 　正２０面体　１２　　２０　　３０　　　　　　５　 　「正４面体」だけが一人ぼっちでのこりの４つはそれぞれ「双対性」 　で２つずつペアを組む深い関係です。 　「双対性」のペアどうしの「頂点」と「面」の数が入れ替わっている 　ところと、「一つの頂点に集まる面と辺の数」に注意して下さい。 ●実際の試験問題において「見取り図」がない場合もあるので、上記表 　の各数字を覚えておくのはもちろんのこと、各立体の見取り図をパッ 　と思い出せるようにしておきましょう。 　では、最後にその「見取り図なし」の立体の文章題をやります。 ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　　　　　　　　　≪見取り図なしの実戦問題≫　 　・正二十面体の「対角線」は何本あるか？　ただしこの「対角線」と 　　は立体の表面を通らずに頂点どうしを結ぶものとする。 ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　 　　　　　　　　　　　　まずは自分で 　　　　　　　　　　　　立体をイメー　 　　　　　　　　　　　　ジしながら考 　　　　　　　　　　　　えてください。 　　 ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ◎解答 　１２−１−５＝６ 　６×１２÷２＝３６　　　答 ３６本 ◎解説 　・正二十面体の頂点の数は１２個（必須ゥ知識ッ！） 　　　　 　・「対角線」とは頂点と頂点を結ぶ線。　　　 　ここでまず、「１つの頂点」から引くことのできる「対角線の数」を 　　　　　　 　考えると、 　１．ある頂点からその頂点自身には「対角線」は引けないので 　　　マイナス１本、つまり、頂点総数１２から１を引いて 　　　１２−１＝１１（本）となり、 　　　　　　 　　　ある一つの頂点から他の頂点１１個に向けて１１本の「線」が引 　　　けることがわかる。 　２．しかし、この「線」のうち立体の表面を通るものは除かなければ 　　　ならないので、 　　　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　　　★「正２０面体」の「一つの頂点に集まる辺の数」は「５本」 　　　∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 　　　という「知識！」より、当然この５本は立体の「表面を通る線」 　　　なので除外せねばならぬぅ。なのでさらに、マイナス５本。 　　　よって　１２−１−５＝６（本）より　 　　　一つの頂点から引ける対角線（立体内部を貫く線）の本数は６本 　 　　　とわかる。 　３．ここで、頂点は１２あるので　 　　　「一つの頂点から引ける対角線の数６本」×「頂点の数 １２」 　　　で　 ６本 × １２ ＝ ７２本 　　　となりそうだが、これでは「対角線１本」につきその両サイドの 　　　頂点から往復してダブって数えていることになるので、 　　　真の答をだすのには「２」で割らねばならぁぬぅ。　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　７２本 ÷ ２ ＝ ３６本　　 答３６本 ●お手持ちのテキストで正２０面体の「見取り図」を見て空間イメージ 　をもって確認しておいてください。 ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ★立体図形の対角線の本数を求める考え方は平面図形（多角形）の対角 　線の数を求める公式と原理は同じなので参考までにその関連について 　書いておきます。 　平面図形（ｎ角形）の対角線の本数は 　 　★（ｎ−３）× ｎ ÷ ２ 　まず、多角形の「一つの頂点から引ける線」は「その頂点」自身に向 　けては引けない（あたりまえ）のでマイナス１本。 　 　また、多角形の「対角線」とはその「多角形の辺」は含まない、とい 　う約束より、「その頂点」の両隣２個の頂点に向けての線すなわちそ 　の「多角形の辺」２本は「対角線」ではない、のでマイナス２本。 　 　このマイナス１とマイナス２で合計マイナス３です。つまり上記公式 　の（ｎ−３）とは「一つの頂点から引くことのできる対角線の数」の 　ことです。 　あとは上の問題でやったのとまったく同様に頂点の数をいったんかけ 　てからダブっているので２で割ってやります。 ●ｎ角形の対角線の数の公式は小学校で習う基本的なものですが、その 　式の「意味」をきちんと押さえておけば「立体」の場合でもその考え 　方を応用できますね。 　いずれにしてもその図形を正確なイメージでしっかり頭にインプット 　しておくことが必要です。 ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ★筆者へのメール　→　hayawaza@my.0038.net　 ★ホームページ　→　http://www25.0038.net/~hayawaza ★このメルマガは「等幅フォント」でお読みください。 設定方法について詳しくは下記を参照下さい。 　・http://www2.osk.3web.ne.jp/~kazikeda/mua/ ★編集・発行：公務員試験 一般知能速解センター（IPSC） ★責任者　吉武瞳言 　このマガジンの無断転載を禁じます。また引用の範囲でもなんらか 　の利用・使用をする場合はその旨お知らせ頂ければ幸いです。 　 Copyright(c)2002 ICSC all rights reserved. ■━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━■